Абстракция в современной математике

В данной работе показаны характерные черты и роль приема абстрагирования на современном этапе развития математики. В широком смысле слова абстракция означает возможность рассмотрения предметов и процессов с какой-либо одной точки зрения и отвлечения от других сторон, моментов и обстоятельств. Абстрактные структуры являются неотъемлемой частью современных математических теорий.

Абстракции современной математики в значительной степени отличаются от исходных понятий. Спецификой абстракции в математике является следующее:
- отвлечение исходных категорий от качественной стороны объектов действительности,
- наличие элементов идеализации.
Значительная относительная самостоятельность этих двух понятий, ведет к необходимости создания «идеальных элементов», не имеющих прообраза в объективном мире (например, квадратный корень из -1),
- иерархия математических абстракций (абстракции от абстракций),
- использование абстракций осуществимости,
- многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту.

Сущность абстракции актуальной бесконечности состоит в отвлечении от незавершенности процесса образования бесконечного множества и невозможности задать такое множество посредством полного перечисления его элементов.

Понятие потенциальной бесконечности характеризуется неограниченным процессом построения математических объектов, который не имеет последнего шага.

А.А. Рябцова