Геометрия кривых поверхностей

В системе Евклида имеется постулат о параллельных, который не может быть проверен экспериментально. Аксиома параллельности, как выяснил это Лобачевский, независима от других аксиом, а значит, возможно свободное от внутренних противоречий построение «геометрических» предложений о точках, прямых и т.д., исходя из системы аксиом, в которой аксиома параллельности заменена на утверждение, противоречащее ей. Геометрия, возникающая в такой системе аксиом, называется неевклидовой.

Простейшей моделью неевклидовой геометрии является модель Клейна, где через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести бесчисленное множество «прямых», «параллельных» данной прямой. Подобного рода геометрия называется геометрией Бойаи – Лобачевского, или гиперболической геометрией.

Немецкий математик Карл Гаусс разработал метод, позволяющий исследовать искривление той или иной поверхности путем вычисления величины k, которую принято называть гауссовой, или полной кривизной.

Плоская геометрия Евклида оказалась всего лишь частным случаем геометрии поверхности, когда гауссова кривизна равна k = 0; ведь возможны также случаи k < 0 и k > 0. Геометрия Бойаи – Лобачевского соответствует случаю k < 0, когда поверхность имеет форму седла.

Гиперболическая геометрия нашла применение в вычислении определенных интегралов, в теории чисел, в общей теории относительности.

Случаю k > 0 соответствует геометрия сферы, называемая эллиптической. Прямые линии в ней конечны и замкнуты и представляют собой прямые круги сферы. Самым характерным свойством эллиптической геометрии можно считать не существование параллельных.

Риманова геометрия – многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближенно имеет место евклидова геометрия. В общей теории относительности Эйнштейна геометрия пространства есть риманова геометрия, поэтому в настоящее время риманова геометрия вместе с ее обобщениями представляет обширную область геометрии, которая продолжает развиваться в разных направлениях.

Т.А. Башлачева