Клеточные автоматы и решеточная модель больцмана как средство моделирования потоков жидкости

Человечество уже давно использует гидродинамические процессы в различных сферах своей жизни. В связи с этим, перед научными деятелями всегда стояли задачи расчета и воспроизведения этих процессов для исследования.

Одной из особенностей потока жидкости или газа является его случайный характер. Это делает невозможным точное воспроизведение деталей опыта, как реального, так и на модели. Однако в связи с этим у опытов, проводимых на компьютерной модели есть существенное преимущество: их можно повторять сколь угодно много раз, а при достаточных мощностях вычислительной техники скорость повторения этих опытов весьма велика, что позволяет получить широкую статистику в кратчайшие сроки.

На данный момент признанными являются два похода к описанию потоков жидкости:
1. Аналитический подход - имеет основой уравнения Навье-Стокса, а так же уравнения гидродинамики для идеальных жидкостей. К сожалению, точное аналитическое решение этих уравнений возможно только для самых простых случаев.
2. Дискретный подход имеет в своем арсенале ряд моделей разной степени детализированности и сложности. Как правило, все они используют решеточную модель сплошной среды. Она предполагает разбиение среды на ячейки, в которых находятся виртуальные частицы, способные двигаться. Некоторые из моделей решеточных газов (HPP, FHP, и др.) рассматривают движение отдельных частиц между узлами пространственной решетки. Другие модели, в частности LBM, изучают плотность распределения частиц и направление движения.

Более подробное внимание стоит уделить модели LBM, основанной на дискретном аналоге кинетического уравнения Больцмана. Именно она принята нами для дальнейшего исследования.

Будем рассматривать моделирование потока жидкости, при движении в трубе. Согласно принятой модели все пространство трубы представляет собой совокупность ячеек. В каждый момент времени находящиеся в ячейке частицы могут двигаться в одном из 8 возможных направлений (скоростным каналам), либо могут остаться на месте (9-й скоростной канал). Модель вычислений основана на следующем алгоритме. Для каждой пространственной ячейки следует:
1. Рассчитать начальное равновесное распределение частиц.
2. Приравнять начальное распределение равновесному.
3. Рассчитать вероятностное распределение частиц.
4. Переместить частицы по скоростным каналам.
5. Рассчитать плотности и скорости.
6. Рассчитать новое равновесное распределение.

Если на последнем шаге будет достигнуто изначально заданное число итераций - цикл прекращается, иначе идет возврат к шагу 3.

В результате, движение жидкости в модели описывается усредненными векторами скоростей частиц для ячеек. Проведенные численные эксперименты показали хорошую работоспособность данного метода и его перспективность.

Кропачева К.Л.